ANALISI NUMERICA 1
programma a.a. 2007/08
prof. M. Zennaro


Rappresentazione dei numeri reali ed aritmetica di macchina
Rappresentazione dei numeri in una generica base. Numeri interi e numeri reali. Rappresentazione in virgola fissa ed in virgola mobile. Cambiamenti di base. I numeri di macchina. Rappresentazione interna all'elaboratore. Overflow e underflow. Troncamento ed arrotondamento. Precisione di macchina. Aritmetica di macchina.

Errori di arrotondamento e loro propagazione
Condizionamento delle operazioni elementari. Stabilità dei problemi. Indici di condizionamento. Stabilità degli algoritmi. Analisi in avanti. Analisi all'indietro.

L'ambiente di programmazione MATLAB
Comandi ed istruzioni principali.

Richiami di algebra lineare
Norme di vettori e di matrici. Autovalori e raggio spettrale. Relazioni fra norme e raggio spettrale. Matrici Hermitiane definite positive e loro proprietà.

Risoluzione numerica di sistemi lineari
Condizionamento dei sistemi lineari. Numero di condizionamento. Risoluzione di sistemi triangolari. Il metodo di eliminazione di Gauss. Fattorizzazione LU. Strategie del pivot. Cenni sull'analisi all'indietro del metodo di eliminazione di Gauss. Metodi compatti: Doolitle e Cholesky. Metodi iterativi per sistemi lineari. Condizioni di convergenza. Metodi di Jacobi e Gauss-Seidel. Criteri di arresto per le iterazioni. Risoluzione dei sistemi lineari sovradimensionati nel senso dei minimi quadrati. Sistema delle equazioni normali. Fattorizzazione QR.

Calcolo di autovalori ed autovettori
Teoremi di Gerschgorin per la localizzazione degli autovalori. Condizionamento degli autovalori. Metodo delle potenze, delle potenze inverse e varianti.

Approssimazione di funzioni ed interpolazione.
Spazi di funzioni a dimensione finita: polinomi algebrici, polinomi trigonometrici e funzioni polinomiali a tratti. Densità dei polinomi algebrici, trigonometrici e delle funzioni polinomiali a tratti in C[a,b] ed in L2[a,b]. Cenni sul problema della miglior approssimazione di funzioni in sottospazi a dimensione finita: esistenza del polinomio generalizzato di miglior approssimazione, unicità nel caso dei polinomi algebrici in C[a,b] ed in L2[a,b]. Interpolazione mediante polinomi algebrici. Forma di Lagrange. Operatore lineare di interpolazione, numeri di Lebesgue. Resto dell'interpolazione. Cenni sui polinomi di Cebicev. Convergenza degli schemi interpolatori: teoremi di Faber, di Natanson, di Jackson. Fenomeno di Runge. Calcolo del polinomio interpolante: formula di Newton alle differenze divise. Cenni sull'interpolazione polinomiale a tratti.

Bibliografia
- V. Comincioli: Analisi Numerica, McGraw-Hill, Milano, 1990
- Dispense del docente