ANALISI NUMERICA 1 (9 cfu)
programma a.a. 2009/10
prof. M. Zennaro
Rappresentazione dei numeri reali ed aritmetica di macchina
Rappresentazione dei numeri in una generica base. Numeri interi e numeri reali. I numeri di macchina. Rappresentazione interna
all'elaboratore. Overflow e underflow.
Troncamento ed arrotondamento. Precisione di macchina. Aritmetica di macchina.
Errori di arrotondamento e loro propagazione
Condizionamento delle operazioni elementari. Stabilità dei problemi. Indici di
condizionamento. Stabilità degli algoritmi. Analisi in avanti.
L'ambiente di programmazione MATLAB
Comandi ed istruzioni principali.
Richiami di algebra lineare
Norme di vettori e di matrici. Autovalori e raggio
spettrale. Relazioni fra norme e raggio spettrale. Matrici hermitiane
e definite positive e loro proprietà.
Risoluzione numerica di sistemi lineari
Condizionamento dei sistemi lineari. Numero di condizionamento. Risoluzione di
sistemi triangolari. Il metodo di eliminazione di
Gauss. Fattorizzazione LU e fattorizzazione
RRH per matrici definite positive.
Strategie del pivot. Risoluzione dei sistemi lineari sovradimensionati nel
senso dei minimi quadrati. Sistema delle equazioni normali. Fattorizzazione
QR.
Calcolo di autovalori ed autovettori
Teoremi di Gerschgorin per la localizzazione degli autovalori.
Metodo delle potenze, delle potenze inverse e varianti.
Approssimazione di funzioni ed interpolazione.
Spazi di funzioni a dimensione finita: polinomi algebrici e
funzioni polinomiali a tratti. Densità dei polinomi algebrici e delle
funzioni polinomiali a tratti in C[a,b] ed in L2[a,b]. Cenni sul problema della miglior
approssimazione di funzioni in sottospazi a dimensione finita: esistenza del
polinomio generalizzato di miglior approssimazione, unicità nel caso dei
polinomi algebrici in C[a,b] ed in L2[a,b]. Interpolazione mediante polinomi
algebrici. Forma di Lagrange. Operatore lineare di interpolazione, numeri di Lebesgue.
Resto dell'interpolazione. Cenni sui polinomi di Cebicev.
Convergenza degli schemi interpolatori: teoremi di Faber, di Natanson, di Jackson. Fenomeno di Runge.
Calcolo del polinomio interpolante: formula di Newton
alle differenze divise. Cenni sull'interpolazione polinomiale a tratti.
Soluzione di
equazioni nonlineari
Concetti generali. Metodo di bisezione. Metodo delle corde. Metodo delle
secanti. Metodo delle tangenti. Maggiorazioni degli errori e criteri di arresto. Teoria generale dei metodi iterativi. Punti
fissi attrattivi e repulsivi. Ordine di convergenza. Cenni sul metodo delle
tangenti per sistemi di equazioni nonlineari
e sue varianti.
Formule di quadratura
Forma generale di una formula. Ordine polinomiale. Formule interpolatorie.
Ordine polinomiale delle formule interpolatorie.
Cenni sulle formule gaussiane. Formule di Newton-Cotes. Convergenza delle formule
di quadratura: teorema generale, teorema di Kusmin
per le formule di Newton-Cotes. Formule
composite. Espressione del resto. Formule dei trapezi e di Simpson.
Quadratura adattativa.
Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie ai valori iniziali
Introduzione ai problemi ai valori iniziali. Condizione di Lipschitz. Teoremi di esistenza e
unicità e di dipendenza continua dai dati iniziali (senza dimostrazioni).
Metodo iterativo di Picard. Costante di Lipschitz destra e relativa limitazione sulla crescita
delle soluzioni. Calcolo delle costanti di Lipschitz
per problemi lineari. Metodi di Eulero
esplicito e di Eulero implicito. Concetto di stiffness e
confronto tra i due metodi di Eulero
applicati a problemi stiff.
Metodi ad un passo in generale. Ordine di consistenza e di convergenza. Teorema
generale di convergenza con passo variabile. Metodi Runge-Kutta
espliciti, impliciti e diagonali-impliciti.
Esistenza ed unicità della soluzione numerica con metodi Runge-Kutta.
Cenni sulle condizioni dell'ordine per i metodi Runge-Kutta.
Bibliografia
- V. Comincioli: Analisi Numerica, McGraw-Hill, Milano, 1990
- Dispense del docente