ANALISI NUMERICA 1 (9 cfu)
programma a.a. 2018/19
prof. M. Zennaro

RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI E ARITMETICA DI MACCHINA

Rappresentazione dei numeri in una generica base. I numeri di macchina: interi e a virgola mobile. Overflow e underflow. Troncamento ed arrotondamento. Precisione di macchina. Aritmetica di macchina.

CONDIZIONAMENTO

Condizionamento delle operazioni elementari. Stabilità dei problemi e degli algoritmi.

L'AMBIENTE DI PROGRAMMAZIONE MATLAB

Comandi ed istruzioni principali.

RICHIAMI DI ALGEBRA LINEARE

Norme di vettori e di matrici. Autovalori, autovettori e raggio spettrale. Relazioni fra norme e raggio spettrale. Matrici hermitiane e definite positive e loro proprietà.

RISOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI

Condizionamento dei sistemi lineari. Il metodo di eliminazione di Gauss. Fattorizzazioni LU e RR^H. Strategie del pivot. Risoluzione dei sistemi lineari sovradimensionati nel senso dei minimi quadrati.

CALCOLO DI AUTOVALORI E AUTOVETTORI

Teoremi di Gerschgorin. Metodo delle potenze, delle potenze inverse e varianti.

APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI

Spazi di funzioni approssimanti a dimensione finita. Densità degli spazi di polinomi algebrici e di funzioni polinomiali a tratti in C^0[a,b]. Cenni sul problema della miglior approssimazione: esistenza del polinomio generalizzato di miglior approssimazione, unicità nel caso dei polinomi algebrici in C^0[a,b].

INTERPOLAZIONE CON POLINOMI ALGEBRICI

Forma di Lagrange. Operatore lineare di interpolazione. Numeri di Lebesgue. Cenni sui polinomi di Cebicev. Convergenza degli schemi interpolatori: teoremi di Faber, di Natanson, di Jackson. Fenomeno di Runge. Formula di Newton alle differenze divise.

RISOLUZIONE DI EQUAZIONI NONLINEARI

Metodo di bisezione. Metodo delle corde, delle secanti e delle tangenti. Maggiorazioni degli errori e criteri di arresto. Teoria generale dei metodi iterativi. Punti fissi attrattivi e repulsivi. Ordine di convergenza.

FORMULE DI QUADRATURA

Ordine polinomiale. Formule interpolatorie. Cenni sulle formule gaussiane. Formule di Newton-Cotes. Convergenza delle formule di quadratura: teorema generale, teorema di Kusmin per le formule di Newton-Cotes. Formule composite. Formule dei trapezi e di Simpson. Quadratura adattiva.

METODI NUMERICI PER EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE AI VALORI INIZIALI

Richiami sui problemi ai valori iniziali. Condizioni di Lipschitz:classica e unilaterale destra. Teoremi di esistenza e unicità e di dipendenza continua dai dati iniziali. Calcolo delle costanti di Lipschitz per problemi lineari. Metodi di Eulero esplicito e implicito. Concetto di stiffness e confronto tra i due metodi di Eulero applicati a problemi stiff. Metodi a un passo. Ordine di consistenza e di convergenza. Teorema generale di convergenza con passo variabile. Metodi Runge-Kutta con cenni sulle condizioni dell'ordine.

Bibliografia
[1] V. Comincioli: Analisi Numerica, McGraw-Hill, Milano, 1990 (ed edizioni successive)

[2] dispense fornite dal docente

NUMERICAL ANALYSIS 1 (9 cfu)
programme a.a. 2018/19
prof. M. Zennaro

REPRESENTATION OF NUMBERS AND MACHINE ARITHMETIC

Representation of numbers in a given basis. Machine numbers: integer and floating point. Overflow and underflow. Truncation and rounding. Machine precision. Machine arithmetic.

CONDITIONING

Conditioning of elementary operations. Stability of problems and algorithms.

PROGRAMMING IN MATLAB

Main commands and instructions.

PRIMER OF LINEAR ALGEBRA

Vector and matrix norms. Eigenvalues, eigenvectors and spectral radius. Relationships between norms and spectral radius. Hermitian and positive definite matrices and their properties.

SOLUTION OF LINEAR SYSTEMS

Conditioning of linear systems. Gaussian elimination method. LU and RR^H factorization. Pivoting strategies. Solution of overdetermined linear systems in the least squares sense.

COMPUTATION OF EIGENVALUES AND EIGENVECTORS

Gerschgorin's theorems. The power and inverse power methods and their variants.

APPROXIMATION OF FUNCTIONS

Finite dimensional spaces of approximating functions. Density of algebraic polynomial and piece-wise polynomial function spaces in C^0[a,b]. Hints of the best

approximation problem: existence of the best approximation generalized polynomial, uniqueness in the algebraic polynomial case in C^0[a,b].

INTERPOLATION BY ALGEBRAIC POLYNOMIALS

Lagrange’s form. Linear interpolation operator. Lebesgue's numbers. Hints of Cebicev polynomials. Convergence of interpolation schemes: Faber's, Natanson's and Jackson's theorems. Runge’s phenomenon. Finite difference Newton's formula.

SOLUTION OF NONLINER EQUATIONS

Bisection method. The chord, secant and tangent methods. Error bounds and stopping criteria. General theory for iterative methods. Attractive and repulsive fixed points. Order of convergence.

QUADRATURE FORMULAE

Polynomial order. Interpolatory formulae. Hints of Gaussian formulae. Newton-Cotes' formulae. Convergence: general theorem, Kusmin's theorem for Newton-Cotes' formulae. Composite formulae. Trapezium and Simpson's formulae. Adaptive quadrature.

NUMERICAL METHODS FOR INITIAL VALUE ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS

Primer of initial value problems. Lipschitz conditions: classical and one-sided. Existence and uniqueness theorems and continuous dependence on the initial data. Computation of the Lipschitz constants for linear problems. Explicit and implicit Euler's methods. The concept of stiffness and comparison between the two Euler methods when applied to stiff problems. One-step methods. Order of consistency and convergence. General convergence theorem for variable stepsize.Runge-Kutta methods with hints of the order conditions.

Bibliography

[1] V. Comincioli: Analisi Numerica, McGraw-Hill, Milano, 1990 (and successive editions)

[2] notes supplied by the teacher