ANALISI NUMERICA 2 (6 cfu)
programma a.a. 2019/20
proff. P. Novati e M. Zennaro
Risoluzione di sistemi lineari
Richiami sui metodi classici diretti basati sulla
fattorizzazione LU; metodi iterativi basati sullo splitting
della matrice dei coefficienti e risultati di convergenze; metodo di
Richardson; metodi di tipo gradiente e metodo del gradiente coniugato; metodi
proiettivi di tipo Krylov; metodi basati
sull'algoritmo di Arnoldi e analisi della
convergenza.
Risoluzione di sistemi non lineari
Richiami sul caso scalare, metodo di bisezione,
iterazione di punto fisso, metodo di Newton e delle secanti; ordine di
convergenza; ipotesi di lavoro nel caso vettoriale; iterazione di punto
fisso e criteri di convergenza; metodo di Newton; metodi di tipo Newton; Metodo
di Broyden; teoremi di convergenza.
Minimizzazione di funzionali
Trasformazione del problema in un'equazione non lineare;
studio dell'applicabilitą del metodo di Newton e delle sue varianti; metodi di
discesa; costruzione delle direzioni di discesa; strategia del line-search; algoritmo del backtraking;
risultati di convergenza.
Approssimazione di funzioni
Definizione di sistema di polinomi ortogonali e proprietą
fondamentali; interpolazione su zeri di polinomi ortogonali; teorema di Erdos-Turan; esempi di
polinomi ortogonali. Interpolazione mediante funzioni spline cubiche: spline naturali,
periodiche e vincolate agli estremi. Proprietą di minima energia.
Calcolo delle funzioni spline cubiche interpolanti:
sistema lineare dei momenti.
Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie ai valori iniziali
Richiami sui metodi Runge-Kutta. Integrazione
automatica a passo variabile: proporzionalitą tra tolleranza sull'errore locale
ed errore globale, scelta del passo d'integrazione. Strategie
per la stima dell'errore locale: coppie di metodi di tipo Runge-Kutta-Fehlberg
e di tipo Dormand- Prince.
Bibliografia
- Y. Saad (2000). Iterative methods
for sparse linear systems. Springer
- J.E. Dennis, R.B. Schnabel (1996). Numerical methods for
unconstrained optimization and nonlinear equations. SIAM
- V. Comincioli (1995). Analisi numerica.
McGraw-Hill
- Dispense dei docenti
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NUMERICAL ANALYSIS 2 (6 cfu)
programme a.a. 2019/20
proff. P. Novati and M. Zennaro
Solution of linear
systems
Background on
classical direct methods based on the LU factorization; iterative methods based
on the splitting of the coefficient matrix and convergence results; Richardson
method; methods of gradient type and Conjugate gradient method; Krylov projection methods; Krylov
methods based on the Arnoldi algorithm and
convergence results.
Solution of nonlinear
systems
Background on the
scalar case, bisection method, fixed-point iteration, Newton and secant method;
convergence order; working hypothesis in the nonscalar
case; fixed-point iteration and convergence criteria; Newton's method; Newton
type methods; Broyden method; convergence theorems.
Minimization of functionals
Transformation of
the problem into a nonlinear equation; applicability study of Newton's method
and its variants; descent methods; construction of the descent directions;
line-search strategy; backtraking algorithm;
convergence results.
Approximation of functions
Definition of system of orthogonal polynomials and main properties;
interpolation at zeros of orthogonal polynomials; Erdos-Turan's
theorem; examples of orthogonal polynomials. Cubic spline function interpolation: natural,
periodic and constrained splines. Minimum energy property.
Computation of the cubic interpolating splines: the momentum linear system.
Numerical
methods for initial value problems of ordinary differential equations
Primers on Runge-Kutta methods. Automatic integration with variable stepsize: local error tolerance and global error
proportionality, choice of the integration stepsize.
Strategies for the local error estimate: Runge-Kutta-Fehlberg and Dormand-Prince
pairs.
Bibliography
- Y. Saad (2000). Iterative methods
for sparse linear systems. Springer
- J.E. Dennis, R.B. Schnabel (1996). Numerical methods for
unconstrained optimization and nonlinear equations. SIAM
- V. Comincioli (1995). Analisi numerica.
McGraw-Hill
- Notes supplied by the teachers