ANALISI NUMERICA 2 (6 cfu)
programma a.a. 2020/21
prof. M. Zennaro
Metodi numerici per sistemi lineari
Richiami sui metodi classici diretti basati sulla
fattorizzazione LU. Metodi iterativi basati sullo splitting della matrice dei coefficienti e risultati di
convergenza; metodo di Richardson. Metodi di tipo gradiente e metodo del gradiente coniugato. Metodi
proiettivi di tipo Krylov; metodi basati
sull'algoritmo di Arnoldi e analisi della convergenza.
Metodi iterativi per sistemi nonlineari
Richiami sul caso scalare; ordine di convergenza. Ipotesi di lavoro nel caso vettoriale; iterazione di punto fisso e
criteri di convergenza. Metodo di Newton; metodi di
tipo Newton; metodo di Broyden; teoremi di
convergenza. Minimizzazione di
funzionali: trasformazione del problema in un'equazione non lineare. Applicabilità
del metodo di Newton e delle sue varianti. Metodi di discesa: strategia del
line-search; risultati di convergenza.
Polinomi ortogonali
Definizione di sistema di polinomi ortogonali e proprietà
fondamentali. Interpolazione sugli zeri di polinomi
ortogonali; teorema di Erdos-Turan. Esempi di
polinomi ortogonali.
Interpolazione con funzioni spline cubiche
Spline
naturali, periodiche e vincolate agli estremi. Proprietà di minima
energia. Calcolo delle funzioni spline cubiche
interpolanti: sistema lineare dei momenti.
Metodi numerici a passo variabile per le ODE
Richiami sui metodi Runge-Kutta. Integrazione
automatica a passo variabile: proporzionalità tra tolleranza sull'errore locale
ed errore globale; scelta del passo d'integrazione. Strategie
per la stima dell'errore locale: coppie di metodi di tipo Runge-Kutta-Fehlberg
e di tipo Dormand- Prince (con estrapolazione locale).
Bibliografia
- Y. Saad (2000). Iterative methods
for sparse linear systems. Springer
- J.E. Dennis, R.B. Schnabel (1996). Numerical methods for
unconstrained optimization and nonlinear equations. SIAM
- V. Comincioli (1995). Analisi numerica.
McGraw-Hill
- Dispense del docente
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NUMERICAL ANALYSIS 2 (6 cfu)
programme a.a. 2020/21
prof. M. Zennaro
Numerical methods for
linear systems
Background on
classical direct methods based on the LU factorization. Iterative methods based
on the splitting of the coefficient matrix and convergence results; Richardson’s
method. Methods of gradient type and conjugate gradient
method. Krylov projection methods; methods
based on the Arnoldi algorithm and convergence analysis.
Iterative
methods for nonlinear systems
Background on the
scalar case; convergence order. Working hypothesis in the nonscalar
case; fixed-point iteration and convergence criteria. Newton's
method; Newton type methods; Broyden method;
convergence theorems. Minimization
of functionals: transforming the problem into
a nonlinear equation. Applicability of Newton's method and
its variants. Descent methods: line-search strategy; convergence
results.
Orthogonal
polynomials
Definition of
system of orthogonal polynomials and main properties. Interpolation at
zeros of orthogonal polynomials; Erdos-Turan's
theorem. Examples of orthogonal polynomials.
Cubic spline function interpolation
Natural, periodic and constrained splines. Minimum energy property.
Computation of the cubic interpolating splines: the momentum linear system.
Variable
stepsize numerical methods for ODEs
Primers on Runge-Kutta methods. Automatic integration with variable stepsize: local error tolerance and global error proportionality;
choice of the integration stepsize. Strategies for
the local error estimate: Runge-Kutta-Fehlberg
and Dormand-Prince (with local extrapolation) pairs.
Bibliography
- Y. Saad (2000). Iterative methods
for sparse linear systems. Springer
- J.E. Dennis, R.B. Schnabel (1996). Numerical methods for
unconstrained optimization and nonlinear equations. SIAM
- V. Comincioli (1995). Analisi numerica.
McGraw-Hill
- Notes supplied by the teacher