METODI NUMERICI PER LE ODE
programma a.a. 2008/09
prof. M. Zennaro
Richiami sui metodi numerici ad un passo per equazioni differenziali ordinarie
Problemi ai valori iniziali. Condizione di Lipschitz.
Esistenza e unicità della soluzione e dipendenza continua
dai dati iniziali. Costante di Lipschitz
unilaterale destra e relativa limitazione sulla crescita delle soluzioni.
Metodi ad un passo: errore locale di troncamento, ordine di
consistenza e di convergenza, teorema di convergenza. Metodi Runge-Kutta.
Interpolanti e metodi continui
Problema dell’interpolazione delle approssimazioni nodali dei metodi a un passo. Interpolazione di tipo one-step e multi-step. Ordine di consistenza e di convergenza uniforme. Condizioni dell’ordine uniforme per i metodi continui di tipo one-step. Metodi di collocazione. Formula di Groebner-Alekseev e suo utilizzo per il calcolo dell’ordine discreto e uniforme. Estensioni naturali continue: condizioni di asintotica ortogonalità e loro applicazioni.
Stabilità dei metodi Runge-Kutta
Definizione di problema "stiff". Equazione
test lineare autonoma. Regioni di assoluta stabilità
per i metodi Runge-Kutta. Metodi A-stabili.
Stabilità rispetto a sistemi lineari autonomi. Equazione test lineare non
autonoma e metodi AN-stabili. Sistemi dissipativi e
metodi BN-stabili ed algebricamente stabili.
Relazioni tra i vari concetti di stabilità. Crescita lineare dell’errore per
metodi stabili.
Metodi multi-step
Errore locale di troncamento, consistenza e ordine. Equazioni lineari alle
differenze: polinomio caratteristico, forma generale delle soluzioni, stabilità
e condizione delle radici. Criteri di Schur e di Von Neumann per polinomi. Matrice
“companion”. Teorema di convergenza dei metodi multi-step. Metodi multi-step
lineari: condizioni necessarie e sufficienti per la consistenza, condizioni
dell'ordine, prima barriera di Dahlquist.
Cenni sulle estensioni continue e sulla assoluta
stabilità dei metodi multi-step lineari: seconda
barriera di Dahlquist.
Bibliografia
-
J.C.
Butcher: The Numerical Analysis of Ordinary Differential Equations, Wiley,
-
K.
Dekker and J.G. Verwer:
Stability of Runge-Kutta Methods for Stiff Nonlinear
Differential Equations, North-Holland,
-
E.
Hairer, S.P. Norsett, G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations I, Nonstiff Problems,
-
E.
Hairer, G. Wanner: Solving
Ordinary Differential Equations II, Stiff and Differential Algebraic Problems,
Springer-Verlag, New York, 1991
- J. Stoer, R. Bulirsch: Introduzione all’Analisi Numerica, Zanichelli, Bologna, 1984
- Dispense del docente