METODI NUMERICI PER LE ODE
programma a.a. 2014/15
prof. M. Zennaro


Richiami sui metodi numerici ad un passo per equazioni differenziali ordinarie
Problemi ai valori iniziali. Condizione di Lipschitz. Esistenza e unicità della soluzione e dipendenza continua dai dati iniziali. Costante di Lipschitz unilaterale destra e relativa limitazione sulla crescita delle soluzioni. Metodi ad un passo: errore locale di troncamento, ordine di consistenza e di convergenza, teorema di convergenza. Metodi Runge-Kutta.

Condizioni dell’ordine per i metodi Runge-Kutta
Sviluppo della soluzione esatta e della soluzione numerica in termini di differenziali elementari. Corrispondenza tra differenziali elementari ed alberi radicati. Derivazione delle condizioni dell'ordine.

Interpolanti e metodi continui
Problema dell’interpolazione delle approssimazioni nodali dei metodi a un passo. Interpolazione di tipo one-step e multi-step. Ordine di consistenza e di convergenza uniforme. Condizioni dell’ordine uniforme per i metodi continui di tipo one-step. Metodi di collocazione. Formula di Groebner-Alekseev e suo utilizzo per il calcolo dell’ordine discreto e uniforme. Estensioni naturali continue: condizioni di asintotica ortogonalità e loro applicazioni.

Stabilità dei metodi Runge-Kutta
Definizione di problema "stiff". Equazione test lineare autonoma. Regioni di assoluta stabilità per i metodi Runge-Kutta. Metodi A-stabili. Stabilità rispetto a sistemi lineari autonomi. Equazione test lineare non autonoma e metodi AN-stabili. Sistemi dissipativi e metodi BN-stabili ed algebricamente stabili. Relazioni tra i vari concetti di stabilità. Crescita lineare dell’errore per metodi stabili.

Metodi multi-step
Errore locale di troncamento, consistenza e ordine. Equazioni lineari alle differenze: polinomio caratteristico, forma generale delle soluzioni, stabilità e condizione delle radici. Criteri di Schur e di Von Neumann per polinomi. Matrice “companion”. Teorema di convergenza dei metodi multi-step. Metodi multi-step lineari: condizioni necessarie e sufficienti per la consistenza, condizioni dell'ordine, prima barriera di Dahlquist. Cenni sulle estensioni continue e sulla assoluta stabilità dei metodi multi-step lineari: seconda barriera di Dahlquist.

Bibliografia
- J.C. Butcher: The Numerical Analysis of Ordinary Differential Equations, Wiley, London, 1987
- K. Dekker and J.G. Verwer: Stability of Runge-Kutta Methods for Stiff Nonlinear Differential Equations, North-Holland, Amsterdam, 1984
- E. Hairer, S.P. Norsett, G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations I, Nonstiff Problems, Springer-Verlag, Berlin, 1993
- E. Hairer, G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations II, Stiff and Differential Algebraic Problems, Springer-Verlag, New York, 1991
- J. Stoer, R. Bulirsch: Introduzione all’Analisi Numerica, Zanichelli, Bologna, 1984
- Dispense del docente