MODELLI
programma a.a. 2006/07
proff. A. Nocentini
e M. Zennaro
Trattazione analitica (prof. Nocentini)
Il procedimento di modellizzazione
in generale.
Regole di modellizzazione.
Il problema del salto in lungo: modello di ordine
zero e soluzione, modello più accurato e soluzione approssimata, valutazione
dell'influenza di variazioni della resistenza dell'aria e della gravità sulla
lunghezza del salto. Il problema del getto del peso.
Linearizzazione di un problema matematico,
soluzione per approssimazioni successive, per sviluppo in serie di potenze.
Il problema della riproduzione cellulare: modellizzazione
discreta e continua; crescita esponenziale e
logistica. Descrizione probabilistica. Varianza e
scarto quadratico. Regressione lineare. Il caso della popolazione degli Stati Uniti.
Il decadimento radioattivo. Il
problema della datazione col
metodo del carbonio 14. Modellizzazione dell’effetto serra.
Il moto dei pianeti. Il problema dell'oggetto lanciato dall'astronave.
Modellizzazione del pendolo. Pendolo matematico: configurazioni di equilibrio
e loro stabilità. Il problema dell'altalena.
Il problema della catena che sostiene il ponte sospeso: modellizzazione, tensione e distribuzione di massa,
equazioni e condizioni di esistenza della soluzione,
problema matematico e soluzione, il caso del filo uniforme, la catenaria.
Il problema del filo appoggiato a due carrucole.
Modellizzazione del problema del bastone da
passeggio. Equazioni generali di equilibrio per la sbarra piana.
Soluzione del problema del bastone da passeggio: biforcazione. Il problema
della mensola. Il problema del silos.
Problemi preda-predatore:
il modello di Rosenzweig-MacArthur.
Trattazione
numerica (prof. Zennaro)
Richiami sui metodi Runge-Kutta
per equazioni del primo ordine. Cenni sui metodi continui e sul calcolo
approssimato della primitiva delle soluzioni. La
costante di Lipschitz unilaterale destra e relazioni
con lo spettro della parte simmetrica della Jacobiana.
Analisi della stabilità dell’equazione del salto in lungo
con resistenza dell’aria.
Problemi iniziali per equazioni
differenziali del secondo ordine. Riduzione di problemi del secondo
ordine a problemi del primo ordine. Derivazione dei
metodi Runge-Kutta-Nystrom.
Cenni su consistenza, convergenza e ordine. Caso particolare delle equazioni
senza derivata prima nel membro destro. Discussione dell’equazione del salto in
lungo.
Problemi ai limiti per equazioni
differenziali del secondo ordine. Problema dei due punti. Caso lineare e
coefficienti costanti. Autovalori ed autofunzioni. Il metodo shooting
semplice. Equazione variazionale ed utilizzo del
metodo di Newton. Metodi alle differenze finite:
schemi del secondo ordine. Cenni sulla risoluzione del
sistema nonlineare: metodo di Newton e possibili
varianti, metodo iterativo semplice per equazioni senza derivata prima
nel membro destro. Caso lineare: stabilità dello schema e teorema di
convergenza. Cenni sull’approssimazione di autovalori ed autofunzioni. Discussione di problemi con varie condizioni ai limiti: il problema
del bastone da passeggio e del silos.
Bibliografia
- Burghes D. N., Huntley
I. e McDonald J., Applying Mathematics, John Wiley & Sons, USA, 1982 [Ist.Mat IV D
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- Fulford G., Forrester P.
e Jones A., Modelling with Differential and Difference Equations, Cambridge
University Press, UK, 1997 [Dip.Sc.Mat. 034/C 0534].
- Hairer E., Norsett S. P.,
Wanner, G., Solving
Ordinary Differential Equations
I – Nonstiff Problems, Springer-Verlag, USA, 1993 [Dip.Sc.Mat.
065/G 0521].
- Stoer J., Bulirsch R.,
Introduzione all’Analisi Numerica, vol. 2, Zanichelli,
Italia, 1984
- Dispense dei docenti