MODELLI
programma preventivo a.a. 2013/14
proff. A. Nocentini
e M. Zennaro
Trattazione analitica (prof. Nocentini)
Il procedimento di modellizzazione
in generale.
Regole di modellizzazione.
Il problema del getto del peso.Il problema del salto in lungo: modello di ordine zero e soluzione, modello più accurato e soluzione
approssimata, valutazione dell'influenza di variazioni della resistenza
dell'aria e della gravità sulla lunghezza del salto. Linearizzazione di un problema
matematico, soluzione per approssimazioni successive, per sviluppo in serie di
potenze.
Il problema della riproduzione cellulare: modellizzazione
discreta e continua; crescita esponenziale e
logistica. Descrizione probabilistica. Varianza e
scarto quadratico. Il caso dell’afide del pioppo. Il caso della popolazione
degli Stati Uniti. Il problema dello sfruttamento delle
risorse rinnovabili: il caso della pesca: modello di Schaefer
e modello di Gordon-Schaefer. Problemi preda-predatore:
i modelli Lotka-Volterra e di Rosenzweig-MacArthur.
Il decadimento radioattivo. Il
problema della datazione col
metodo del carbonio 14.
Il problema della catena che sostiene il ponte sospeso: modellizzazione, tensione e distribuzione di massa,
equazioni e condizioni di esistenza della soluzione,
problema matematico e soluzione, il caso del filo uniforme, la catenaria.
Il problema della corda rotante.
Modellizzazione del problema del bastone da
passeggio. Il problema matematico. Soluzione: biforcazione. Il problema
della mensola. Il problema del silos.
Modellizzazione del problema dell'altalena. Modellizzazione del nuoto
agonistico. Il teorema della rovina
del giocatore.
Trattazione
numerica (prof. Zennaro)
Richiami sui metodi Runge-Kutta
per equazioni del primo ordine. Cenni sui metodi continui e sul calcolo approssimato
della primitiva delle soluzioni. La costante di Lipschitz unilaterale destra e relazioni con lo spettro
della parte simmetrica della Jacobiana. Analisi della stabilità dell’equazione del salto in lungo con
resistenza dell’aria.
Problemi iniziali per equazioni
differenziali del secondo ordine. Riduzione di problemi del secondo
ordine a problemi del primo ordine. Derivazione dei
metodi Runge-Kutta-Nystrom.
Cenni su consistenza, convergenza e ordine. Caso particolare delle equazioni
senza derivata prima nel membro destro. Discussione dell’equazione del salto in
lungo.
Problemi ai limiti per equazioni
differenziali del secondo ordine. Problema dei due punti. Caso lineare e
coefficienti costanti. Autovalori ed autofunzioni. Il
metodo shooting. Equazione variazionale
ed utilizzo del metodo di Newton. Metodi alle
differenze finite: schemi del secondo ordine. Cenni sulla risoluzione del
sistema nonlineare: metodo di Newton. Caso lineare:
stabilità dello schema e teorema di convergenza. Cenni sull’approssimazione di autovalori ed autofunzioni. Discussione di problemi con
varie condizioni ai limiti: il problema del bastone da passeggio e del silos.
Bibliografia
- Burghes D. N.,
- Fulford G., Forrester P. e Jones A., Modelling with
Differential and Difference Equations,
- Clark C. W., Mathematical Bioeconomics, II ed.,
John Wiley & Sons, New York 1990 [Dip.Sc.Mat.
092/C 0503]
- Hairer E., Norsett S. P.,
Wanner, G., Solving Ordinary Differential Equations I
– Nonstiff Problems, Springer-Verlag,
USA, 1993 [Dip.Sc.Mat. 065/G 0521].
- Stoer J., Bulirsch R., Introduzione all’Analisi Numerica, vol. 2, Zanichelli,
Italia, 1984
- Dispense dei docenti