MODELLI
programma a.a. 2017/18
proff. A. Fonda e M. Zennaro


Trattazione analitica (prof. Fonda)
Generalità sulle tecniche di modellizzazione.
Moto di un corpo nel campo gravitazionale.
Studio della traiettoria di un corpo lanciato a una quota bassa sulla superficie terrestre. Effetti dovuti alla presenza dell’aria. Ottimizzazione del lancio in varie attività sportive. Orbita di un satellite in campo newtoniano.
Crescita di popolazioni: modelli discreti e continui.
Il modello di Malthus e quello di Verhulst. Interazioni tra specie animali: il modello preda-predatore di Lotka-Volterra. Specie in competizione.
Oscillazioni non lineari. Un modello non lineare di ponte sospeso. Oscillatori isocroni - il fenomeno della risonanza. L'equazione del pendolo matematico. Il modello di una barra elastica in compressione. Diagrammi di biforcazione.

Trattazione numerica (prof. Zennaro)
Richiami sui metodi Runge-Kutta per equazioni del primo ordine. Cenni sui metodi continui. La costante di Lipschitz unilaterale destra e relazioni con lo spettro della parte simmetrica della Jacobiana. Analisi della stabilità dell’equazione del salto in lungo con resistenza dell’aria.
Problemi iniziali per equazioni differenziali del secondo ordine. Riduzione di problemi del secondo ordine a problemi del primo ordine. Derivazione dei metodi Runge-Kutta-Nystrom. Cenni su consistenza, convergenza e ordine. Caso particolare delle equazioni senza derivata prima nel membro destro. Discussione dell’equazione del salto in lungo.
Problemi ai limiti per equazioni differenziali del secondo ordine. Problema dei due punti. Caso lineare a coefficienti costanti. Autovalori ed autofunzioni. Cenni sul metodo shooting. Metodi alle differenze finite: schemi del secondo ordine. Cenni sulla risoluzione del sistema nonlineare: metodo di Newton. Caso lineare: stabilità dello schema e teorema di convergenza. Cenni sull’approssimazione di autovalori ed autofunzioni. Discussione di problemi con varie condizioni ai limiti: problemi di periodicità e problema del bastone da passeggio.

Nota: molti dei metodi numerici studiati vengono implementati in linguaggio Octave.

Bibliografia
- Burghes D. N., Huntley I. e McDonald J., Applying Mathematics, John Wiley & Sons, USA, 1982 [Ist.Mat IV D 42]

- Fulford G., Forrester P. e Jones A., Modelling with Differential and Difference Equations, Cambridge University Press, UK, 1997 [Dip.Sc.Mat. 034/C 0534]

- Clark C. W., Mathematical Bioeconomics, II ed., John Wiley & Sons, New York 1990 [Dip.Sc.Mat. 092/C 0503]

- Hairer E., Norsett S. P., Wanner, G., Solving Ordinary Differential Equations I – Nonstiff Problems, Springer-Verlag, USA, 1993 [Dip.Sc.Mat. 065/G 0521]

- Murray J.D., Mathematical Biology, Springer, 1989 (first edition) e 2003 (third edition)
- Stoer J., Bulirsch R., Introduzione all’Analisi Numerica, vol. 2, Zanichelli, Italia, 1984
- Dispense dei docenti