ANALISI NUMERICA 1 (9 cfu)

NUMERICAL METHODS FOR ODEs (6 cfu)
programme a.a. 2020/21
prof. M. Zennaro

PRIMER OF ONE-STEP NUMERICAL METHODS FOR ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS

Initial value problems. Lipschitz condition. Existence and uniqueness of solutions and continuous dependence on initial data. One-sided Lipschitz constant and related bound to the solution growth. One-step methods: local truncation error, consistency and convergence order, convergence theorem. Runge-Kutta methods.

ORDER CONDITIONS FOR RUNGE-KUTTA METHODS

Expansion of the exact and numerical solution in terms of elementary differentials. Correspondence between elementary differentials and rooted trees. Derivation of the order conditions.

INTERPOLANTS AND CONTINUOUS METHODS

Interpolation of nodal values obtained by a one-step method. Interpolation of one-step and multi-step type. Uniform consistency and convergence order. Uniform order conditions for one-step continuous methods. Collocation methods. Groebner-Alekseev formula and its use to compute the discrete and the uniform order. Natural continuous extensions: asymptotic orthogonality conditions and their applications.

STABILITY OF RUNGE-KUTTA METHODS

Definition of "stiff" problem. Linear autonomous equation. Absolute stability regions of Runge-Kutta methods. A-stable methods. Stability with respect to liner autonomous systems. Nonautonomous linear test equation and AN-stable methods. Dissipative systems: BN-stable and algebraically stable methods. Relationships among the various concepts of stability. Linear error growth for stable methods.

MULTI-STEP METHODS

Local truncation error, consistency and order. Linear difference equations: characteristic polynomial, general form of the solutions, stability and root condition. Schur's and Von Neumann's criteria for the polynomial roots location. Companion matrix. Convergence theorem for multi-step methods. Linear multi-step methods: necessary and sufficient conditions for consistency, order conditions, the first Dahlquist barrier. Hints of continuous extensions and of absolute stability for linear multi-step methods: the second Dahlquist barrier.

Bibliography

[(1) J.C. Butcher: The Numerical Analysis of Ordinary Differential

Equations, Wiley, London, 1987]

[(2) K. Dekker and J.G. Verwer: Stability of Runge-Kutta Methods for Stiff

Nonlinear Differential Equations, North-Holland, Amsterdam, 1984]

[(3) E. Hairer, S.P. Norsett, G. Wanner: Solving Ordinary Differential

Equations I, Nonstiff Problems, Springer-Verlag, Berlin, 1993]

[(4) E. Hairer, G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations II, Stiff

and Differential Algebraic Problems, Springer-Verlag, New York, 1991]

[(5) J. Stoer, R. Bulirsch: Introduzione all'Analisi Numerica, Zanichelli,

Bologna, 1984]

[(6) notes supplied by the teacher]

Italian version

RICHIAMI SUI METODI NUMERICI A UN PASSO PER EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE

Problemi ai valori iniziali. Condizione di Lipschitz. Esistenza e unicità della soluzione e dipendenza continua dai dati iniziali. Costante di Lipschitz unilaterale destra e relativa limitazione sulla crescita delle soluzioni. Metodi ad un passo: errore locale di troncamento, ordine di consistenza e di convergenza, teorema di convergenza. Metodi Runge-Kutta.

CONDIZIONI DELL’ORDINE PER I METODI RUNGE-KUTTA

Sviluppo della soluzione esatta e della soluzione numerica in termini di differenziali elementari. Corrispondenza tra differenziali elementari ed alberi radicati. Derivazione delle condizioni dell'ordine.

INTERPOLANTI E METODI CONTINUI

Interpolazione delle approssimazioni nodali dei metodi a un passo. Interpolazione di tipo one-step e multi-step. Ordine di consistenza e di convergenza uniforme. Condizioni dell’ordine uniforme per i metodi continui di tipo one-step. Metodi di collocazione. Formula di Groebner-Alekseev e suo utilizzo per il calcolo dell’ordine discreto e uniforme. Estensioni naturali continue: condizioni di asintotica ortogonalità e loro applicazioni.

STABILITA’ DEI METODI RUNGE-KUTTA

Definizione di problema "stiff". Equazione test lineare autonoma. Regioni di assoluta stabilità per i metodi Runge-Kutta. Metodi A-stabili. Stabilità rispetto a sistemi lineari autonomi. Equazione test lineare non autonoma e metodi AN-stabili. Sistemi dissipativi: metodi BN-stabili ed algebricamente stabili. Relazioni tra i vari concetti di stabilità. Crescita lineare dell’errore per metodi stabili.

METODI MULTI-STEP

Errore locale di troncamento, consistenza e ordine. Equazioni lineari alle differenze: polinomio caratteristico, forma generale delle soluzioni, stabilità e condizione delle radici. Criteri di Schur e di Von Neumann per la localizzazione delle radici di un polinomio. Matrice “companion”. Teorema di convergenza dei metodi multi-step. Metodi multi-step lineari: condizioni necessarie e sufficienti per la consistenza, condizioni dell'ordine, prima barriera di Dahlquist. Cenni sulle estensioni continue e sulla assoluta stabilità dei metodi multi-step lineari: seconda barriera di Dahlquist.

Bibliografia
[(1) J.C. Butcher: The Numerical Analysis of Ordinary Differential