Brevi richiami sui prerequisiti: equazioni e disequazioni; proprietà delle potenze. Funzioni trigonometriche. Equazioni e disequazioni trigonometriche.
I Numeri: naturali, interi, razionali e reali. Gli assiomi dei numeri reali. L'assioma di Dedekind. Massimi e minimi di sottoinsiemi dei numeri reali. Estremo superiore ed estremo inferiore di sottoinsiemi di numeri reali. La radice n-ima di un numero reale. Le funzioni esponenziale e logaritmo e loro proprietà. La funzione valore assoluto e sue principali proprietà.
I numeri complessi: Definizione di numeri complessi come coppie di numeri reali. Definizione delle operazioni di somma e prodotto tra numeri complessi. L'inverso di un numero complesso. L'unità immaginaria i. La notazione a+ib. Numeri immaginari puri, parte reale e parte immaginaria di un numero complesso. Modulo e coniugato di un numero complesso. La forma trigonometrica dei numeri complessi. Argomento. La potenza n-ima di un numero complesso. Il piano di Argand-Gauss e la formula di De Moivre. Radici n-ime di un numero complesso.
Successioni di numeri reali: Definizione di limite di una successione di numeri reali. Operazioni con i limiti di successioni: i teoremi sulla somma, sul prodotto, sul rapporto di due successioni. Successioni divergenti. Forme indeterminate. Teorema del confronto (o dei due carabinieri, o del sandwich) tra successioni. Il numero e di Nepero. Applicazione del numero di Nepero: l'interesse composto.
Funzioni reali di variabile reale: Intervalli della retta reale. Funzioni definite su intervalli (e su intervalli privati di un punto). Definizione di limite di una funzione. Il teorema di unicità del limite. il teorema della permanenza del segno. teorema del confronto (o dei due carabinieri o del sandwich). Operazioni con i limiti. Limiti destri e sinistri. Limiti quando la variabile tende a + o - infinito. Il limite notevole sin(x)/x e il limite notevole (1+1/x)x
Le funzioni continue: Funzioni continue in un punto e in un intervallo. Teorema degli zeri o di Bolzano. Definizione di punto di massimo o di minimo per una funzione (continua). Il teorema di Weierstrass. Il teorema dei valori intermedi.
La derivata: Definizione di rapporto incrementale. La derivata come limite del rapporto incrementale. Significato geometrico della derivata (la derivata di una funzione in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto considerato) e significato fisico della derivata (la derivata della legge oraria che esprime il moto di un punto materiale è la velocità del punto). Funzioni derivabili in un intervallo.
Regole di derivazione: Derivata della somma, del prodotto e del rapporto di due funzioni. Derivata di una costante e di xn, derivata delle funzioni trigonometriche, della funzione logaritmo e della funzione esponenziale. Derivata delle funzioni composte. Funzioni inverse delle funzioni trigonometriche e loro derivate. Derivate successive.
Teoremi sulle derivate: Il teorema di Fermat, il teorema di Rolle e il teorema di Lagrange. Refola di De L'Hospital. Funzioni crescenti, decrescenti (in un punto e in un intervallo) e legame della crescenza e decrescenza con la derivata. Concavità e convessità di una funzione e legame con la derivata seconda. Asintoti e studio del grafico di una funzione.
La formula di Taylor: Il polinomio di Taylor. La formula di Taylor con resto di Lagrange.
Calcolo integrale: Il concetto di primitiva di una funzione. L'integrale indefinito di una funzione (continua). Regole per il calcolo di integrali indefiniti: integrali immediati (come conseguenza delle regole di derivazione). Integrale della somma, integrale del seno e del coseno. Integrale di xn, integale della funzione esponenziale. Metodi di integrazione: integrazione per parti. Integrazione per sostituzione. Integrale delle principali funzioni elementari.
Integrale definito: Definizione di integrale definito (come limite di aree di plurirettangoli). Il teorema del valor medio per integali definiti. Il teorema fondamentale del calcolo integrale.
Testi consigliati (N.B. tutti i testi qui consigliati sono reperibili nelle biblioteche dell'università).