Diario delle lezioni

Questo diario delle lezioni si riferisce ad un possibile modello di presentazione degli argomenti. Di anno in anno i contenuti e la loro trattazione possono variare.

• Lezione 1: Introduzione al corso; informazione sulle modalità di esame, ricevimento, testi seguiti nel corso.
  Richiami: definizione di gruppo, sottogruppo, ecc.
• Lezione 2: Ancora sui gruppi, sottogruppi, sottogruppi normali, gruppi quozienti, omomorfismo tra gruppi, teoremi di omomorfismo.
• Lezione 3: Anelli, ideali, campi, anelli quoziente, i teoremi di omomorfismo per anelli, ideali primi, ideali massimali. Elementi invertibili e divisori dello zero in un anello. Domini di integrità. L'anello degli interi, i suoi ideali e i suoi quozienti (Z e Z_m).
• Lezione 4: Ideali in un anello: ideali generati da un insieme finito, ideali generati da un elemento. Costruzione dell'anello dei polinomi con coefficiente in un anello.
• Lezione 5: Ancora sulla costruzione dell'anello dei polinomi. Grado di un polinomio, termine/coefficiente direttivo di un polinomio, termine noto, polinomio monico. Se A è un dominio di integrità, allora A[x] è anche un dominio.
• Lezione 6: Dati due polinomi di A[x], se i loro coefficienti direttivi non sono divisori dello zero, allora il grado del loro prodotto è la somma dei loro gradi. Un omomorfismo tra due anelli A, B si estende in unico modo ad un omomorfismo tra A[x] e B[x] che manda x in x. Omomorfismo di valutazione (che manda un polinomio f(x) di A[x] nell'elemento f(a) di A). Dato un omomorfismo h da A in B ed un elemento b di B, esiste un unico omomorfismo da A[x] in B che estende h e che manda x in b.
  Divisione tra polinomi: dati f, g in A[x], se il coefficiente direttivo di f è invertibile, allora esistono due polinomi q, r unici con grado di r minore del grado di f tali che g = qf+r.
• Lezione 7: Ancora sulla divisione tra polinomi. Teorema di Ruffini: il resto della divisione di un polinomio di K[x] (con K campo) quando viene diviso per x-a vale f(a); inoltre f è divisibile per x-a se e solo se f(a)=0.
  Teorema di D'Alambert: un polinomio di grado n a coefficienti in un campo ha al massimo n radici. Conseguenza: se il campo K dei coefficienti è infinito, allora f=g se e solo se f(a)=g(a) per ogni a in K.
  Massimo comun divisore tra due polinomio di K[x].
• Lezione 8: Algoritmo di Euclide per il calcolo del massimo comun divisore di due polinomi in K[x]. Identità di Bezout. Caratterizzazione del m.c.d. di due polinomi f e g (come quel polinomio che divide f, divide g ed è diviso da ogni polinomio che divide f e g). Definizione di polinomi associati. Se d₁ e d₂ sono entrambi m.c.d. di due polinomi, allora d₁ e d₂ sono associati. In particolare il m.c.d. di due polinomi è unico se si impone che sia monico.
  L'anello dei polinomi K[x] (con K campo) è ad ideali principali (PID). Esempio: Z[x] non è un PID.
• Lezione 9: Definizione di elemento irriducibile in un dominio (f è irriducibile se non è invertibile e se si scrive come prodotto di due elementi dell'anello, allora uno dei due è unitario). Polinomi irriducibili in K[x]. Esempi: ogni polinomio di grado 1 in K[x] è irriducibile. Se p è irriducibile e non divide f, allora il m.c.d. tra p e f vale 1. Ogni polinomio di K[x] (con K campo) è prodotto di polinomi irriducibili. Se un polinomio irriducibile divide il prodotto di due polinomi, allora divide uno dei due fattori. Unicità della decomposizione di un polinomio in prodotto di fattori irriducibili.
• Lezione 10: Ogni polinomio monico di K[x] si scrive in unico modo come prodotto di polinomi monici irriducibili.
  Definizione di campo algebricamente chiuso (un campo in cui ogni polinomio non costante ha almeno una radice). In un campo algebricamente chiuso ogni polinomio si scompone nel prodotto di polinomi irriducibili di grado 1. In un campo algebricamente chiuso gli unici polinomi irriucibili sono i polinomi di grado 1. Il campo C dei numeri complessi è algebricamente chiuso (cenno di una possibile dimostrazione). Nel campo R dei numeri reali un polinomio è irriducibile se e solo se è di grado 1 o è di grado 2 e ha il discriminante negativo. Né il campo R dei numeri reali, né il campo Q dei numeri razionali sono algebricamente chiusi.
• Lezione 11: La caratteristica di un anello A come il più piccolo r intero positivo (se esiste) tale che 1_A+1_A+...+1_A=0 (somma fatta r volte). Anelli di caratteristica 0 e di caratteristica finita. L'omomorfismo f : Z --> A dato da f(n) = n 1_A. Il nucleo di f è della forma (a), dove a risulta essere la caratteristica di A. Ogni anello contiene o Z o Z_m. La caratteristica di un dominio di integrità (e quindi di un campo) o è 0 o è un numero primo.
  Derivato di un polinomio in K[x], (con K campo). L'operatore D di derivazione come applicazione lineare di K[x] in sè. Derivata del prodotto: D(fg) = fD(g)+D(f)g.
• Lezione 12: Il piccolo teorema di Fermat: Se p è un numero primo allora a^p è congruo ad a per ogni intero a. Varie formulazioni (a^p-1 è congruo ad 1, a^p=a in Z_p). Generalizzazione: se G è un gruppo finito abeliano con n elementi, allora gⁿ=1 per ogni elemento g di G (notazione moltiplicativa). Formula del binomio di Newton in un anello qualsiasi. In particolare, in un anello di caratteristica p vale: (a+b)^p= a^p+b^p.
  Utilizzo del derivato di un polinomio: se un polinomio f di K[x] (con K campo) ha fattori multipli allora il m.c.d. tra f e f' è diverso da 1. Se la caratteristica del campo K è 0, allora vale anche il viceversa.
• Lezione 13: Se K è un campo di caratteristica p, allora l'applicazione f_p:K --> K definita da f_p(a)= a^p è iniettiva. Se inoltre K è finito allora è anche suriettiva. In questo caso si chiama l'isomorfismo di Frobenius. Dire che f_p è suriettiva equivale ad affermare che in K si possono estrarre le radici p-ime degli elementi. Un campo con questa proprietà si chiama campo perfetto. Se K è un campo finito (più in generale perfetto) e se f è un polinomio di K[x] e se D(f)=0 (dove D(.) indica il derivato), allora f è la p-ima potenza di un polinomio di K[x]. Esempi in Z_p[x]. Se K è perfetto, allora un polinomio f di K[x] ha fattori multipli se e solo se il m.c.d. tra f e D(f) non è 1.
  Polinomi in Q[x]: ogni polinomio f di Q[x] è associato ad un polinomio g che ha tutti i coefficienti in Z. Un polinomio di Q[x] si dice primitivo se ha tutti i coefficienti in Z e se il m.c.d. dei coefficienti è 1. Ogni polinomio f di Q[x] è associato ad un polinomio g primitivo. Il prodotto di polinomi primitivi è un polinomio primitivo.
• Lezione 14: Se f è un polinomio primitivo e se anche rf (dove r è un elemento di Q) è primitivo, allora r vale 1 o -1. Lemma di Gauss: Se f è un polinomio di Q[x] a coefficienti in Z e se f=ab in Q[x], allora esistono due polinomi a', b' a coefficienti interi, associati ad a e b, tali che f=a'b'. Conseguenza: se si definiscono come polinomi irriducibili di Z[x] i polinomi f che non sono prodotto di due polinomi di grado maggiore o uguale a 1, si ha che un polinomio a coefficienti interi è irriducibile in Z[x] se e solo se è irriducibile in Q[x].
  Fattorizzare in Q[x] o in Z[x] "è la stessa cosa". Se un polinomio f= a₀+ ... +a_nxⁿ ha uno zero razionale r/s, allora r divide a₀ e s divide a_n.
  Criterio di irriducibilità di Eisenstein. Conseguenza: in Z[x] (e quindi in Q[x]) ci sono infiniti polinomi irriducibili in ogni grado.
• Lezione 15: Teorema cinese del resto: Formulazione in Z con le congruenze. Fromulazione equivalente: Se m₁, m₂, ... m_k, sono numeri naturali a due a due coprimi, allora l'anello Z_m1...mk è isomorfo al prodotto degli anelli Z_m1, ... , Z_mk. Congruenze nell'anello dei polinomi. Il teorema cinese del resto per polinomi in K[x]. Conseguenza del teorema cinese del resto: Dati d+1 interi a due a due distinti s₀, ..., s_d e dati altri d+1 interi a₀, ..., a_d, esiste un unico polimomio g di grado al più d tale che g(s_i)=a_i.
• Lezione 16: Correzione e discussione degli esercizi riassuntivi.
• Lezione 17: Fattorizzazione in Z[x] (e in Q[x]): Il metodo di Schubert (Kroneker): dato f in Z[x] di grado n, se è riducibile, esite sempre un fattore a di f di grado n/2 (se n pari) o (n-1)/2 altrimenti. Fissati d+1 interi distinti n₀, ..., n_d, allora a(n_i) deve dividere f(n_i), quindi a deve essere tale che a(n_i)=s_i per ogni i, (dove s_i è un divisore di f(n_i)). Il polinomio a si ricerca tra un numero finito di possibilità in quanto i divisori di f(n_i) sono finiti (si utilizza un risultato della lezione precedente).
  Il metodo di fattorizzazione di polimomi di Z_p[x] di Berlekamp: dato f, se g è un polinomio di Z_p[x] di grado compreso tra 1 e deg(f)-1 tale che f divide g^p-g, allora tra mcd(f, g-i) (con i=0, ..., (p-1)) si trova un fattore effettivo di f.
• Lezione 18: (continuazione) Costruzione di polinomi g in Z_p[x] tali che f divide g^p-g e di grado minore o uguale a deg(f)-1. Tali polinomi sono in corrispondenza biunivoca con gli elementi del nucleo della matrice Q-I, dove Q è la matrice le cui colonne sono date dai coefficienti dei resti della divisione per f di x^jp (per j=0, 1, ..., d-1) e I è la matrice identica di ordine d.
• Lezione 19: Il terzo teorema di Berlekamp: Se f è un polinomio di Z_p[x], allora, costruita la matrice Q come detto in precedenza, la dimensione del nucleo di Q-I è uguale al numero di fattori irriducibili di f. Inoltre f è irriducibile se e solo se il nucleo di Q-I ha dimensione 1 e f e f' sono primi tra loro. Appunti delle lezioni sui teoremi di Berlekamp.
• Lezione 20: Fattorizzazione di polinomi in Z[x]: Se f è un polinomio tale che, se pensato in Z_p[x] (con p primo) mantiene fisso il grado ed è irriducibile in Z_p[x], allora f è irriducibile in Z[x]. Cenno al metodo di sollevamento di Hensel per fattorizzare polinomi in Z[x], nota una loro fattorizzazione in Z_p[x].
• Lezione 21: Polinomi in più variabili. Definizione induttiva di A[x₁, ..., x_n] come anello dei polinomi nella variabile x_n con coefficienti in A[x₁, ..., x_n-1]. Definizione di monomio, coefficiente del monomio e termine. Grado di un polinomio, grado rispetto ad una variabile, polinomi omogenei (o forme). Ogni polinomio è somma finita di monomi, ogni polinomio è somma finita di polinomi omogenei. Principio di identità per polinomi in A[x₁, ..., x_n] (un polinomio è nullo se e solo se tutti i coefficienti dei suoi monomi sono nulli). Se A è un dominio, allora A[x₁, ..., x_n] è un dominio; se A è un UFD, allora A[x₁, ..., x_n] è un UFD (senza dimostrazione). L'anello dei polinomi K[x₁, ..., x_n] (con K campo): è un dominio, è un UFD, inoltre è un K-spazio vettoriale con base T, l'insieme dei termini. L'anello dei polinomi K[x] è un PID, ma NON è vero che K[x₁, ..., x_n] (se n>1) sia un PID.
• Lezione 22: Costruzione del campo dei quozienti: Se A è un dominio d'integrità, si definisce l'insieme B fatto dalle coppie (a,b) con a e b elementi di A e b diverso da zero. In B si definisce una relazione di equivalenza R data da: (a, b) R (c, d) se ad=bc. Sull'insieme quoziente B/R si può definire una somma e un prodotto, in modo che diventa un campo. Tale campo contiene (una copia isomorfa ad) A. Il campo così costruito si indica con Q(A) e si dice campo dei quozienti di A. Proprietà universale di Q(A): detta j l'omomorfismo di inclusione di A in Q(A), se K è un qualunque campo e se f è un omomorfismo da A in K, allora esiste un unico omomorfismo di campi F : Q(A) --> K tale che f = Fj. Conseguenza: Q(A) è il più piccolo campo che contiene (una copia isomorfa ad) A. Esempi.
• Lezione 23: Se B è un anello, se A è un sottoanello di B, f: A --> B è un omomorfismo di anelli, fissati n elementi di B: b₁, ..., b_n, allora esiste un unico omomorfismo di anelli F : A[x₁, ..., x_n] --> B tale che estende f e F(x_i) = b_i. Esempi.
• Lezione 24: Se B è un anello, se A è un sottoanello di B e se b₁, ..., b_n sono n elementi di B fissati, allora con A[b₁, ..., b_n] si indica il più piccolo sottoanello di B che contiene A e b₁, ..., b_n (esiste sempre, basta prendere l'intersezione di tutti i sottoanelli di B che contengono A e b₁, ..., b_n). Se si definisce l'omomorfismo di anelli F : A[x₁, ..., x_n] --> B tale che F(a)=a per ogni a elemento di A e F(x_i)=b_i, si vede che A[b₁, ..., b_n] è l'immagine di F, pertanto è costituito da tutti i polinomi in x₁, ..., x_n a coefficienti in A valutati in b₁, ..., b_n.
  Estensione di campi. Se L è un campo, K è un sottocampo e se b₁, ..., b_n sono elementi di L, con K(b₁, ..., b_n) si indica il più piccolo campo che contiene K e gli elementi b₁, ..., b_n. Si vede che K(b₁, ..., b_n)= Q(K[b₁, ..., b_n]) L è un'estensione finitamente generata di K se L è della forma K(b₁, ..., b_n) (con b₁, ..., b_n elementi di L). In particolare, se n=1, l'estensione di dice semplice. Esempi.
• Lezione 25: Se L è un campo e K è un sottocampo di L, allora un alemento a di L si dice algebrico su K se esiste un polinomi f in K[x] non nullo, tale che f(a)=0. Se a non è algebrico, allora a si dice trascendente (su K). Se a è trascendente su K, allora K[a] è isomorfo all'anello dei polinomi K[x]. Se a è algebrico su K, allora esiste sempre un unico polinomio monico di grado minimo con coefficienti in K che si annulla in a. Tale polinomio si chiama polinomio minimo (di a su K). Il polinomio minimo è irriducibile. Se a è algebrico su K allora K[a] è isomorfo a K[x]/(m) (dove m è il polinomio minimo) e K[a] è un campo, quindi K[a] = K(a). L'anello quoziente K[x]/(f) (dove f è un qualunque polinomio di grado n) è uno spazio vettoriale su K di dimensione n. Una sua base è data da: [1], [x], ..., [x]^n-1.
• Lezione 26: Estensione di campi: se K è un sottocampo di L si usa la notazione L : K. Grado di un'estensione: Se si ha l'estensione L : K, allora L è uno spazio vettoriale su K. La dimensione di L come K-spazio vettoriale si indica con [L : K] e si chiama grado dell'estensione. Legge della torre: se L : K e M : L sono due estensioni, allora vale: [M : K] = [M : L][L : K]. Esempi.
• Lezione 27: Correzione esercizi.
• Lezione 28: Legge della torre generalizzata: Se K₀, K₁, ... , K_n sono campi, dove ognuno è sottocampo del successivo, allora [K_n:K₀] è il prodotto di [K_i:K_i-1] (con i=1, ..., n). Dato un polinomio f irriducibile su un campo K, esiste un campo L che contiene K e tale che f ammette uno zero in L (il campo L è definito da K[x]/(f) e lo zero di f è la classe di equivalenza di x in K[x]/(f)). Campo di riducibilità completa (o di spezzamento) di un polinomio di K[x]: è il più piccolo campo che contiene K e in cui f si spezza in un prodotto di fattori lineari. Se f è un qualunque polinomio di K[x], esiste sempre il campo di riducibilità completa per f (si prova per induzione sul grado di f: si scrive f come prodotto di fattori irriducibili; allora, per il risultato precedente, esiste un campo L dove uno dei fattori irriducibili di f ammette uno zero. Quindi in L[x] il polinomio f si spezza nel prodotto di un polinomio lineare e un polinomio g di grado più piccolo del grado di f. Si procede analogamente con g).
  Il campo dei numeri complessi ottenuto come il quoziente di R[x] fatto rispetto all'ideale (x²+1).
• Lezione 29: Costruzioni con riga e compasso. Dato un insieme finito di punti P₀ del piano, si dice che un punto p è costruibile (con riga e compasso) in un passo a partire da P₀ se si può ottenere come intersezione di due rette passanti per punti di P₀ o di una retta passante per due punti di P₀ e una circonferenza centrata in un punto di P₀ e con raggio uguale alla distanza di due punti di P₀ o come intersezione di due circonferenze sempre centrate in punti di P₀ e con raggi uguali alle distanze tra punti di P₀. Si dice che q è costruibile da P₀ se esiste una sequenza di punti p₁, p₂, ..., p_n tali che p_n=q e p_i è costruibile in un passo a partire dai punti di P₀ e i punti p₁, p₂, ..., p_i-1. Sia K_i il più piccolo campo (contenuto nel campo dei reali) e che contiene tutte le coordinate dei punti di P₀ e dei punti p₁, p₂, ..., p_i. Allora vale: [K_i : K_i-1] vale o 1 o 2 (infatti le coordinate del punto p_i soddisfano un'equazione o di primo o di secondo grado con coefficienti in K_i-1). Se q è costruibile a partire da P₀, allora [K_n : K₀] è una potenza di 2 (si applica il teorema della torre e si usa il risultato precedente). Conseguenza: se x e y indicano le coordinate del punto q, allora [K₀(x) : K₀] e [K₀(y) : K₀] sono potenze di 2 (infatti si applica il teorema della torre ai campi: K₀, K₀(x), K_n). Conseguenza (teorema di Wantzel) Non si può, con riga e compasso, duplicare il cubo (infatti questo equivale a trovare un segmento nel piano di lunghezza la radice cubica di 2, quindi un punto nel piano che ha ad esempio l'ascissa uguale ad a (radice cubica di 2). Ma il polinomio minimo su Q della radice cubica di 2 è di grado 3 e quindi [Q[a] : Q] vale 3 che non è una potenza di 2.
• Lezione 30: Ancora sulla non risolubilità di problemi con riga e compasso: l'angolo di 60 gradi non può essere diviso in tre parti uguali con riga e compasso. Si vede che riuscire a trisecare l'angolo di 60 gradi equivale a provare che il numero a dato dal coseno di pi/9 è costruibile a partire dai punti del piano di coordinate (0, 0) e (1, 0). Ma si vede facilmente che a è radice di un polinomio irriducibile sui razionali di terzo grado e 3 non è una potenza di 2. Analogamente, sfruttando il fatto che pi è trascendente su Q, si vede che non si può risolvere, con riga e compasso, il problema della quadratura del cerchio.
• Lezione 31: Campi finiti. Un campo finito ha sempre per caratteristica un numero primo p, e contiene (una copia isomorfa di) Z_p; è uno spazio vettoriale di dimensione n finita su Z_p. Quindi un campo finito ha pⁿ elementi. Teorema dell'elemento primitivo: se K è un campo finito, allora il gruppo K \ {0} è ciclico. Un generatore di K \ {0} si chiama elemento primitivo. Esempi.
• Lezione 32: Dimostrazione del teorema dell'elemento primitivo. Conseguenza: dato un campo finito K, allora esiste un polinomio q in Z_p[x] irriducibile, tale che K è isomorfo al quoziente Z_p[x]/(q).
  Fissati n e p (p primo), esiste sempre un campo con pⁿ elementi: basta prendere il campo di riducibilità completa del polimomio x^pn-x.
  Due campi finiti con lo stesso numero di elementi sono isomorfi. Allora, per ogni n e p (con p primo) esiste sempre uno e, a meno di isomorfismi, un solo campo con pⁿ elementi. Questo campo si indica con G(n, p) e si chiama campo di Galois.
  Se q è un polinomio irriducibile di Z_p[x] di grado d che divide x^pn-x, allora d divide n. Viceversa, se q è un polinomio irriducibile di Z_p[x] di grado d e se n è un qualunque intero tale che d lo divide, allora q divide x^pn-x.
• Lezione 33: Polinomi moinici irriducibili di grado d di Z_p[x]. Il polinomio x^pn-x si scompone nel prodotto di polinomi irriducibili monici di Z_p[x] tutti diversi tra loro (infatti è privo di fattori multipli). Usando i risultati della precedente lezione, abbiamo che x^pn-x è quindi il prodotto di tutti i polinomi monici irriducibili di grado d, con d divisore di n. Se indichiamo con N(p, d) il numero dei polimomi monici, irriducibili di Z_p[x], si ottiene che pⁿ è uguale alla somma di N(p, d)d, dove d varia tra tutti i divisori di n.
  Funzione di Moebius: associa ad ogni numero naturale positivo n il numero m(n) definito da: m(1) = 1, m(n)=0 se, quando si scompone n in fattori primi, almeno uno dei fattori compare con esponente maggiore di 1; m(n)=(-1)^r se n è il prodotto di r fattori primi distinti. Vale: fissato n, la somma di tutti gli m(d), dove d varia tra tutti i divisori di n, vale 1 se n=1, altrimenti vale 0. Formula di inversione di Moebius: se f : N \ {0} --> N è una funzione e se F(n) è la somma di f(d), per ogni d divisore di n, allora vale: f(n) è la somma di m(d)F(n/d), dove d varia tra tutti i divisori di n. In questo modo si riesce a trovare una formula per calcolare tutti i polinomi irriducibili monici di un grado fissato n di Z_p[x].
• Lezione 34: Discussione del programma svolto.
• Lezione 35: Introduzione ai programmi di calcolo simbolico. Il progetto open source Sage (www.sagemath.org). Primi esempi di utilizzo di Maple.
• Lezione 36: (12/01/10) Ancora esempi di utilizzo del programma di calcolo simbolico Maple.
• Lezione 37: Discussione del programma svolto.